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Ⅱ、运用数形结合思想处理一类对称问题

2010年10月04日 09:36
来源:本站原创


高一数学组
??? 圆锥曲线上存在两点关于某直线对称求某参数范围问题,已经有许多文章进行了论述。通常都是用函数思想、不等式的思想解决的。即引进新参量,建立函数关系式,转化为函数值域或构造关于参量的不等式,寻求参量的范围。通过教学实践,笔者发现这类问题不仅可以用上述两种思想解决,也可以用数形结合思想解决。设想寻求有关弦中点轨迹,通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系,利用数形结合寻求参量范围,下面举几例加以说明。
例1:已知椭圆C: ,确定m的取值范围,使C上有不同的两点A、B关于直线L:y=4x+m对称。
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0)
则有???? (1)?? (2)
(1)-(2)得?????
?? A、B关于L对称
?? KAB =?
??y0 = 6x0
于是以 为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段,不包括端点。
??与 联立得两交点A1( ),B1( ),
问题转化为L与线段??? 有交点问题。
由图形知,当L过A1点时,m最大值为? ,当L过B1点时,m最小值为 - ,
?
例1的解法提供了一种解决此类问题的新思路,而且运算过程简单,从图形上可以直观地看出结果,真正体现了数形结合思想的作用。那么此种想法是否适合其它曲线呢?回答是肯定的。
例2:曲线C:x-y2-2y=0上存在关于直线L:y=x+m对称两点A、B,求m的取值范围。
解:设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),则有
?- -2 =0??????? ①
?- -2 =0??????? ②
①-②得? (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0?
由题意知??? x1-x2?0,上式两端同除x1-x2,得
?
??A,B关于L对称
??KAB =? ,y0 =? ,x0 =? - m
于是以-1为斜率的平行弦中点轨迹为直线y = 在抛物线内部的一条射线,不包括端点。
将y = 代入抛物线方程得交点P( , ),
问题转化为L与射线y = (x> )有交点。
??? 将P点坐标代入L方程得m = ,由图形知,m取值范围为
由例1、例2可以看出,若直线L斜率已知,则可以转化为L与平行弦中点轨迹相交问题处理,关键是寻求与已知直线垂直的平行弦中点轨迹,然后再利用数形结合求参量范围。那么,这种解法可信度如何呢?我们看看上两例,例1中当L与A1B1有交点时,此交点恰是与L垂直的弦中点,就保证了该弦两端点关于L对称。所以只要L与平行弦中点轨迹有交点时,就能保证曲线上存在两点关于L对称。
例3、已知椭圆C: ,确定k的范围,使C上存在不同的两点A、B关于直线L: 对称。
解:设 , , ,
当k=0时, 不符题意,所以 ,
将A、B坐标代入椭圆方程得
?(1)??? (2)
(1)-(2)得???? 即
????
?, 有
?, 又M在L上,
?, ,
于是以 为斜率的弦中点轨迹为 在椭圆内部的一段A1B1,如图,
将 代入椭圆方程得 ,?
问题转化为L与线段A1B1有交点,由图形知
例4、已知L: 能垂直平分曲线C: 某一弦AB,求k范围。
解:由抛物线对称性,当k=0时,C上不存在A、B关于L对称,所以 ,
设 , , ,
将A、B坐标代入抛物线方程得
?? (1)????? (2)?
(1)-(2)得??
?,
?, , ,
又 在L上,
?,
于是 , ,消k得
??斜率为 的弦中点轨迹为 在抛物线内部一段且过(1,1)点,如图,
而L过定点(1,1)。当L与 相切时得k=-2,由图形知
例5、曲线C: 上存在关于L: 对称的两点A、B,求k的范围。
解:当k=0时,L为x轴,由双曲线对称性知 k=0不符合题意,
当 时,设 , , ,
将A、B坐标代入双曲线方程得
?(1)????? (2)
(1)-(2)得 ,
?, ,
又? , ,
以 为斜率的弦中点轨迹方程为x=-2,
直线x=-2与双曲线、渐近线交于点A1,B1,C1,D1,
由双曲线对称性可以看出,以 为斜率的弦中点轨迹应是线段B1C1和以A1,D1为端点的两条射线(在x=-2上),
L过定点C(-4 ,0)
?
由图形知, 时,L与弦中点轨迹有交点,即C上存在两点A、B关于L对称。
所以?
通过以上几例可以看出,运用数形结合思想解决这类问题,可以使运算过程简化,并具有很强的直观性,处理此类问题思路简单。最后笔者想说的是,数学思想无处不在,只要我们注重挖掘,并能将其运用于解题实践,这样将会给我们带来无穷的乐趣。

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