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常系数线性齐次递推关系及解的求法

2010年05月20日 08:40
来源:本站原创

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?????????????????????????????

定义 k个常数,且 ,则递推关系

????????????????? n k?? 1 ????????

称为k阶常系数线性齐次递推关系。

如果数列 满足

????????? n k

则称数列 是递推关系的一个解

定理1 任意给出个常数 ,有且仅有一个数列 ,它是递推

关系(1)的解,且满足条件: (该条件称为递推关

系(1)的初始条件)

因为有无穷多种方法去取k个常数 ,故由定理1,递推关系(1)有无穷多个解。但给出了初始条件之后,递推关系(1)的解是唯一的。

能表示出递推关系(1)全部解的表达式叫做递推关系(1)的通解。

递推关系(1)可改写成

定义2 方程

??????????? ?????2

称为递推关系(1)的特征方程,它的根称为递推关系(1)的特征根

定理2 q是非零复数,则 是递推关系(1)的一个解当且仅当q

是递推关系(1)的一个特征根.

定理3 ? 都是递推关系(1)的解,

为任意常数,则 也是递推关系(1)的解

定理4 如果递推关系(1)的k个特征根 彼此相异,则

??????????????

是递推关系(1)的通解,其中 为任意常数。

1 已知

?????????

???? 求数列 的通项公式

解:递推关系

??????

的特征方程为 ,特征根为

,所以

其中 为待定常数,由初始条件有

??

解这个方程组得 ,所以

以上是对于特征根彼此相异求递推关系的解的情况,,下面来研究一下对于特征根为重根求递推关系解的情况

定理5 q是递推关系(1)的一个m(m 0)重特征根,则 都是(1)的解

定理 6 设递推关系(1)有t个相异的特征根 其中 重根,令

?????????

其中 是任意常数,则递推关系(1)的通解为

?????????????????

由以上定理可以知道,解常系数线性齐次递推关系的步骤是:求出特征根,写出通解,由初始条件确定通解中的诸常数,最后写出所求的解。

2 解递推关系

??

解:所给递推关系的特征方程为

特征根为 所以

其中 为待定常数,由初始条件有

解这个方程组得 ,所以

对于文中我们在例1以及例2中所建立起来的递推关系,我们都可以用上述的特征根法进行求解

?

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